已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足f（a?b）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f(12)=-12，令bn=2n-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知f （x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足f（a?b）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f （x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f(

1

2

)=-

1

2

，令bn=

2n

f(2n)

，Sn表示数列{b_n}的前n项和．试问：是否存在关于n的整式g （n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）?g （n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令a=b=0，得f（0）=0?f（0）+0?f（0）=0．
令a=b=1，得f（1）=1?f（1）+1?f（1），∴f（1）=0．（2分）
（2）令a=b=-1，得f（1）=f[（-1）?（-1）]=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1），∴f（-1）=0．
令a=-1，b=x，得f（-x）=f（-1?x）=-1?f（x）+x?f（-1）=-f（x）+0=-f（x）．∴f（x）是奇函数．（5分）
（3）当ab≠0时，

f(a?b)

a?b

=

f(b)

b

+

f(a)

a

．
令g(x)=

f(x)

x

，则g(a?b)=g(a)+g(b)，∴g（aⁿ）=ng（a）．（7分）
∴f（aⁿ）=aⁿ?g（aⁿ）=n?aⁿ?g（a）=n?a^n-1?f（a）．
∵f(1)=f(2?

1

2

)=2f(

1

2

)+

1

2

f(2)=0，f(

1

2

)=-

1

2

∴f（2）=2，
∴bn=

2n

f(2n)

=

1

n

（9分）
∴Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴Sn-Sn-1=

1

n

(n≥2)
即nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1，（11分）
∴（n-1）S_n-1-（n-2）S_n-2=S_n-2+1，…，2S₂-S₁=S₁+1，
∴nS_n-S₁=S₁+S₂+…+S_n-1+n-1，
∴S₁+S₂+…S_n-1=nS_n-n=（S_n-1）?n（n≥2）
∴g（n）=n．
故存在关于n的整式g （n）=n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：