函数f（x）（x∈R+）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（xm）=mf（x）．（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）若不等式f（x）+f（3-x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）（x∈R+）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（xm）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

函数f（x）（x∈R⁺）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（x^m）=mf（x）．
（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）若不等式f（x）+f（3-x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：令x=a^m，y=aⁿ，则f（xy）=f（a^maⁿ）=f（a^m+n）=（m+n）f（a）=m+n，
同理，f（x）+f（y）=m+n，∴得证
（2）证明：任设x₁，x₂∈R⁺，x₁＞x₂，可令，x₁=x₂t（t＞1），t=a^α（α＞0）
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₂t）-f（x₂）=f（x₂）+f（t）-f（x₂）=f（t）=f（a^α）=αf（a）=α＞0
即f（x₁）＞f（x₂）∴f（x）在正实数集上单调递增
（3）f（x）+f（3-x）≤2可化成，f（x）+f（3-x）≤2f（a）
即f（x）+f（3-x）≤f（a²），
即

f[(x)(3-x)]≤f(a2)

0＜x＜3

，即

x(3-x)≤a2

0＜x＜3

，而当0＜x＜3时，[x(3-x)]max=

9

4

依题意，有a2≥

9

4

，又a＞1∴a≥

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）（x∈R+）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（xm）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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