定义在实数集R上的函数f(x)=13x3+12(a-4)x2+2(2-a)x+a与y轴的交点为A，点A到原点的距离不大于1；（1）求a的范围；（2）是否存在这样的区间，使对任意a，f（x）在该区间上为增函数？-数学试题及答案

1、试题题目：定义在实数集R上的函数f(x)=13x3+12(a-4)x2+2(2-a)x+a与y轴的交点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

定义在实数集R上的函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(a-4)x2+2(2-a)x+a与y轴的交点为A，点A到原点的距离不大于1；
（1）求a的范围；
（2）是否存在这样的区间，使对任意a，f（x）在该区间上为增函数？若存在，求出该区间，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数图象与y轴交点为（0，a），则|a|≤1，∴-1≤a≤1；------------------（3分）
（2）f'（x）=x²+（a-4）x+2（2-a）=（x-2）a+x²-4x+4，---------------（7分）
令f'（x）＞0对任意的a∈[-1，1]恒成立，
即不等式g（a）=（x-2）a+x²-4x+4＞0对任意的a∈[-1，1]恒成立，---（9分）
其充要条件是：

g(1)=x2-3x+2＞0

g(-1)=x2-5x+6＞0

，------------（11分）
解得x＜1，或x＞3．--------------（13分）
所以当x∈（-∞，1）或x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0对任意a∈[-1，1]恒成立，
所以对任意a∈[-1，1]函数f（x）均是单调增函数．--------------（14分）
故存在区间（-∞，1）和（3，+∞），对任意a∈[-1，1]，f（x）在该区间内均是单调增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在实数集R上的函数f(x)=13x3+12(a-4)x2+2(2-a)x+a与y轴的交点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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