已知函数f(x)=2x2x-1+21-x+a（a∈R）（1）若f（1）=1，求实数a的值并计算f（-1）+f（3）的值；（2）若不等式f（x）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=-1时，设g（x）=f（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2x2x-1+21-x+a（a∈R）（1）若f（1）=1，求实数a的值并计算..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

2x

2x-1+21-x

+a（a∈R）
（1）若f（1）=1，求实数a的值并计算f（-1）+f（3）的值；
（2）若不等式f（x）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=-1时，设g（x）=f（x+b），是否存在实数b使g（x）为奇函数．若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本题12分）
（1）∵f（1）=1，
∴

21

20+20

+a=1，即1+a=1，∴a=0
∴f(x)=

2x

2x-1+21-x

，
∴f(-1)+f(3)=

2-1

2-2+22

+

23

22+2-2

=2．
（2）∵f（x）≥0，即

2x

2x-1+21-x

+a≥0，
亦即a≥-

2x

2x-1+21-x

对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
设h(x)=-

2x

2x-1+21-x

，
∵h(x)=-

2x

2x-1+21-x

=-

1

2-1+21-2x

=-

1

2

+

2

22x

，
∴h（x）在x∈[1，+∞）时是增函数，所以h_min（x）=h（1）=-1
∴a≥-1即可．
故实数a的取值范围是[-1，+∞）．
（3）∵a=-1，
∴f(x)=

2x

2x-1+21-x

-1=

2x-2x-1-21-x

2x-1+21-x

=

2x-1-21-x

2x-1+21-x

，
∴g(x)=f(x+b)=

2x+b-1-21-b-x

2x+b-1+21-b-x

，
方法一：
∵g（x）是奇函数，且x∈R，∴g（0）=0
∴g(0)=

2b-1-21-b

2b-1+21-b

=0，∴2^b-1=2^1-b，即2^b-1=1，所以b=1．
当b=1时，g(x)=

2x-2-x

2x+2-x

，∵g(-x)=

2-x-2x

2-x+2x

=-

2x-2-x

2x+2-x

=-g(x)，
∴g（x）是奇函数．
故存在b=1，使g（x）是奇函数．
方法二：
∵g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），令b-1=c
即

2-x+c-2-c+x

2-x+c+2-c+x

=-

2x+c-2-c-x

2x+c+2-c-x

∴2^2c+2^-2x-2^2x-2^-2c=-（2^2c+2^2x-2^-2x-2^-2c）
∴2^2c-2^-2c=0，即2^4c=1，即c=0，即b=1．
方法三：【这种做法也给分】
当b=1时，g(x)=

2x-2-x

2x+2-x

，
∵g(-x)=

2-x-2x

2-x+2x

=-

2x-2-x

2x+2-x

=-g(x)，∴g（x）是奇函数．
所以存在b=1，使g（x）是奇函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2x2x-1+21-x+a（a∈R）（1）若f（1）=1，求实数a的值并计算..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：