（理）已知函数f(x)=2+1a-1a2x，实数a∈R且a≠0．（1）设mn＞0，判断函数f（x）在[m，n]上的单调性，并说明理由；（2）设0＜m＜n且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；（-数学试题及答案

1、试题题目：（理）已知函数f(x)=2+1a-1a2x，实数a∈R且a≠0．（1）设mn..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

（理）已知函数f(x)=2+

1

a

-

1

a2x

，实数a∈R且a≠0．
（1）设mn＞0，判断函数f（x）在[m，n]上的单调性，并说明理由；
（2）设0＜m＜n且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）若不等式|a²f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求a的范围．

试题来源：长宁区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设m≤x₁＜x₂≤n，则f(x1)-f(x2)=-

1

a2x1

+

1

a2x2

=

x1-x2

a2x1x2

，
∵mn＞0，m≤x₁＜x₂≤n，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），因此函数f（x）在[m，n]上的单调递增．
（2）由（1）及f（x）的定义域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，
因此m，n是方程2+

1

a

-

1

a2x

=x的两个不相等的正数根，
等价于方程a²x²-（2a²+a）x+1=0有两个不等的正数根，
即△=(2a2+a)2-4a2＞0且x1+x2=

2a2+a

a2

＞0且x1x2=

1

a2

＞0，
解得a＞

1

2

，∴n-m=

1

a

4a2+4a-3

=

-3(

1

a

-

2

3

)2+

16

3

，
∵a∈(

1

2

，+∞)，∴a=

3

2

时，n-m最大值为

4

3

．
（3）a2f(x)=2a2+a-

1

x

，则不等式|a²f（x）|≤2x对x≥1恒成立，
即-2x≤2a2+a-

1

x

≤2x即不等式对x≥1恒成立，
令h（x）=2x+

1

x

，易证h（x）在[1，+∞）递增，同理g(x)=

1

x

-2x[1，+∞）递减．
∴h（x）_min=h（1）=3，g（x）_max=g（1）=-1，
∴

2a2+a≤3

2a2+a≥-1

∴-

3

2

≤a≤1且a≠0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理）已知函数f(x)=2+1a-1a2x，实数a∈R且a≠0．（1）设mn..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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