已知函数f（x）=ex-e-xex+e-x（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex-e-xex+e-x（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

ex-e-x

ex+e-x

（其中e=2.71828…是一个无理数）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断奇偶性并证明之；
（3）判断单调性并证明之．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f（x）=

e2x-1

e2x+1

=1-

2

e2x+1

（1）∵e^2x+1恒大于零，
∴x∈R
（2）函数是奇函数
∵f（-x）=

e-2x-1

e-2x+1

=

1-e2x

1+e2x

=-f(x)
又由上一问知函数的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数
（3）是一个单调递增函数
设x₁，x₂∈R 且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

e2x1+1

-1+

2

e2x2+1

=

2(e2x1-e2x2)

(e2x1+1)(e2x2+1)

∵x₁＜x₂，
∴e2x1-e2x2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R是单调增函数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex-e-xex+e-x（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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