已知定义在（0，+∞）上的两个函数f（x）=x2-alnx，g（x）=x-ax，且f（x）在x=1处取得极值．（1）求a的值及函数g（x）的单调区间；（2）把g（x）对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C1，求C1与f-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在（0，+∞）上的两个函数f（x）=x2-alnx，g（x）=x-ax，且f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知定义在（0，+∞）上的两个函数f（x）=x²-alnx，g（x）=x-a

x

，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求a的值及函数g（x）的单调区间；
（2）把g（x）对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C₁，求C₁与f（x）对应曲线C₂的交点个数，并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f′(x)=2x-

a

x

，
∴f'（1）=2-a=0，∴a=2
∴g(x)=x-2

x

．
由g′(x)=1-

1

x

＞0，得x＞1；由g′(x)=1-

1

x

＜0，得0＜x＜1．
∴g（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）．（5分）
（3）由题意知C1：h(x)=x-2

x

+6．
问题转化为G(x)=x2-2lnx-(x-2

x

+6)=0在（0，+∞）上解的个数
G′(x)=2x-2

1

x

-1+

1

x

=

2x2-2-x+

x

=

(

x

-1)(2x

x

+2x+

x

+2)

x

．
由G'（x）＞0，得x＞1；由G'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴G（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减．
又G（1）=-4＜0，所以G(x)=x2-2lnx-(x-2

x

+6)=0在（0，+∞）上有2个解．
即C₁与f（x）对应曲线C₂的交点个数是2．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在（0，+∞）上的两个函数f（x）=x2-alnx，g（x）=x-ax，且f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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