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1、试题题目：已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+an，B（n）=a2+a3+…+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+an，B（n）=a2+a3+…+an+1，C（n）=a3+a4+…+an+2，n=1，2，…．
（Ⅰ）若a1=1，a2=3，且对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，证明：数列{an}是公比为q的等比数列；
（Ⅲ） （理科）在（Ⅰ）的条件下，求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥p
2n+1
对一切n∈N*均成立的最大实数p．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的单调性、最值



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）是等差数列，
所以B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即an+1-a1=an+2-a2，
亦即an+2-an-1=a2-a1=2．
故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
于是an=1+（n-1）×2=2n-1
（Ⅱ）若对于任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，
则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，
得an+2-a2=q（an+1-a1），
即an+2-qan+1=a2-a1．由n=1有B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2-qan+1=0．
因为an＞0，所以
an+2
an+1
=
a2
a1
=q，故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
（Ⅲ）（理科）
由题意得p≤
1
2n+1
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)对n∈N*恒成立
记F(n)=
1
2n+1
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)，
则
F(n+1)
F(n)
=
1
2n+3
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)(1+
1
an+1
)
1
2n+1
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)
=
2n+2
(2n+1)(2n+3)
=
2(n+1)
4(n+1)2-1
＞
2(n+1)
2(n+1)
=1
∵F（n）＞0，
∴F（n+1）＞F（n），
即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为F(1)=
2
3
3
，
∴p≤
2
3
3
，
即pmax=
2
3
3
．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+an，B（n）=a2+a3+…+..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。


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