已知函数f(x)=11-x+lg1+x1-x（1）求函数f（x）的定义域，并判断它的单调性（不用证明）；（2）若f（x）的反函数为f-1（x），证明方程f-1（x）=0有解，且有唯一解；（3）解关于x的不等式f[x（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=11-x+lg1+x1-x（1）求函数f（x）的定义域，并判断它的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

1-x

+lg

1+x

1-x

（1）求函数f（x）的定义域，并判断它的单调性（不用证明）；
（2）若f（x）的反函数为f^-1（x），证明方程f^-1（x）=0有解，且有唯一解；
（3）解关于x的不等式f[x（x+1）]＞1．

试题来源：南汇区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

1+x

1-x

＞0，及1-x≠0，得：-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域为（-1，1），…（2分）
由于y=lg

1+x

1-x

=lg(-1+

2

1-x

)和y=

1

1-x

在（-1，1）上都是增函数，
∴f（x）在定义域（-1，1）内是增函数． …（4分）
（2）令x=0，得f（0）=1．即x=0是方程f^-1（x）=0的一个解…（7分）
设x₁≠0是f^-1（x）=0的另一解，则由反函数的定义知f（0）=x₁≠0，
这与f（0）=1矛盾，故f^-1（x）=0有且只有一个解．…（10分）
（3）由f[x（x+1）]＞1=f（0），且f（x）为定义在（-1，1）上的增函数，得0＜x（x+1）＜1，
解得-

1+

5

2

＜x＜-1或0＜x＜

-1+

5

2

，这也即为不等式f[x（x+1）]＞1的解．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=11-x+lg1+x1-x（1）求函数f（x）的定义域，并判断它的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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