已知函数f(x)=a-12x+1(x∈R)；（1）求证：不论a为何实数，f（x）在（-∞，+∞）上均为增函数；（2）若f（x）为奇函数，求a的值；（3）在（2）的条件下，求f（x）在区间[1，5]上的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=a-12x+1(x∈R)；（1）求证：不论a为何实数，f（x）在（-∞，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

(x∈R)；
（1）求证：不论a为何实数，f（x）在（-∞，+∞）上均为增函数；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求f（x）在区间[1，5]上的最大值和最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：f（x）的定义域为R，任取x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-(a-

1

2x2+1

)=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以，无论a为何实数，f（x）总为增函数．
（2）因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，即a-

1

20+1

=0
解得a=

1

2

．
（3）由（2）知，f(x)=

1

2

-

1

2x+1

(x∈R)，
由（1）知f（x）为区间[1，5]上的增函数，
所以f（x）在[1，5]上的最小值为f(1)=

1

6

，最大值为f（5）=

31

66

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=a-12x+1(x∈R)；（1）求证：不论a为何实数，f（x）在（-∞，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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