在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB与C1D1的中点．（1）求证：四边形A1ECF是菱形；（2）求证：EF⊥平面A1B1C；（3）求A1B1与平面A1ECF所成角的正切值．-数学试题及答案

1、试题题目：在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB与C1D1的中点．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB与C₁D₁的中点．
（1）求证：四边形A₁ECF是菱形；
（2）求证：EF⊥平面A₁B₁C；
（3）求A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正切值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：取A₁B₁的中点G，连接C₁G、GE．
∵A₁G∥FC₁且A₁G=FC₁，∴A₁GC₁F是平行四边形．
∴A₁F∥C₁G．同理C₁G∥CE．∴A₁F∥CE．
由勾股定理算得A₁E=A₁F=CE=CF=

5

2

a，∴四边形A₁ECF是菱形．
（2）证明：连接C₁B，∵E、F分别为AB与C₁D₁的中点，
∴C₁F=BE．又C₁F∥BE，
∴C₁FEB为平行四边形．∴C₁B∥EF．而C₁B⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．又四边形A₁ECF是菱形，∴EF⊥A₁C．∴EF⊥面A₁B₁C．
（3）由（2）知，EF⊥平面A₁B₁C，又EF?平面A₁ECF，
∴平面A₁B₁C⊥平面A₁ECF．∴B₁在平面A₁ECF上的射影在线段A₁C上．
∴∠B₁A₁C就是A₁B₁与平面A₁ECF所成的角．
∵A₁B₁⊥B₁C，在Rt△A₁B₁C中，tan∠B₁A₁C=

B1C

A1B1

=

2

．
∴A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正切值为

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB与C1D1的中点．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

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