四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，AP=2，∠BAD=120°，E为PC中点．（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，AP=2，∠..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，AP=

2

，∠BAD=120°，E为PC中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；
（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD
∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点
∴EO∥PA
又∵PA⊥面ABCD，
∴EO⊥面ABCD
∵AC?面ABCD，∴AC⊥EO
又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线
∴AC⊥面BED（6分）
（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得A(0，0，0)，B(

3

2

，-

1

2

，0)，C(

3

2

，

1

2

，0)，E(

3

4

，

1

4

，

2

)
∴

AB

=(

3

2

，-

1

2

，0)，

AE

=(

3

4

，

1

4

，

2

)，

AC

=(

3

2

，

1

2

，0)（8分）
设

n1

=(x1，y1，z1)是平面ABE一个法向量
由

n1

?

AB

=x1?

3

2

+y1?(-

1

2

)+z1?0=0

n1

?

AE

=x1?

3

4

+y1?

1

4

+z1?

2

=0

，解得

y1=

3

x1

z1=-

6

2

x1

，
所以取x₁=1，y1=

3

，z1=-

6

2

，可得

n1

=(1，

3

，-

6

2

)，
因为PA⊥平面ABC，所以向量

PA

即为平面ABC的一个法向量，设

PA

=

n2

=(0，0，

2

)（10分）
∴cos＜n1，n2＞=

n1

?

n2

|n1|

|n2|

=

-

6

2

×

2

1+3+

3

2

?

2

=-

33

11

根据题意可知：二面角E-AB-C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n₁，n₂＞|=

33

11

∴二面角E-AB-C的平面角的余弦值为

33

11

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，AP=2，∠..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：