如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠B..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
因为A₁D?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁D，
又因为A₁B₁=A₁C₁，D为B₁C₁中点，
所以A₁D⊥B₁C₁．
因为CC₁∩B₁C₁=C₁，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．--------（6分）
（Ⅱ）因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则C(0，1，0)， B(1，0，0)， A1(0，0，1)， D(

1

2

，

1

2

，1).

A1D

=(

1

2

，

1

2

，0)，

A1C

=(0，1，-1)，
设平面A₁DC的法向量为

n

=(x，y，z)，则有

n

?A1D=0

n

?A1C=0

，

x+y=0

y-z=0

，x=-y=-z，
取x=1，得

n

=(1，-1，-1)．
又因为|

n

?

AB

|

n

||

AB

|

|=

1

3

=

3

，AB⊥平面ACC₁A₁，
所以平面ACC₁A₁的法向量为

AB

=(1，0，0)，因为二面角D-A₁C-A是钝角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值为-

3

．-------------（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠B..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：