已知离心率为22的椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点M（6，1，O是坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点A、B为椭圆C上相异两点，且OA⊥OB，判定直线AB与圆O：x2+y2=83的位置关系，并-数学试题及答案

1、试题题目：已知离心率为22的椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点M（6，1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知离心率为

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（

6

，1，O是坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A、B为椭圆C上相异两点，且

OA

⊥

OB

，判定直线AB与圆O：x²+y²=

8

3

的位置关系，并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

c

a

=

2

a2=b2+c2

(

6

)2

a2

+

1

b2

=1

，解得：

a2=8

b2=4

c2=4

，故椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+m，
由

y=kx+m

x2

8

+

y2

4

=1

，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，（1分）
则△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，
由韦达定理得：

x1+x2=-

4km

1+2k2

x1?x2=

2m2-8

1+2k2

，（1分）
则y₁?y₂=（kx₁+m）?（kx₂+m）
=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

m2-8k2

1+2k2

．
由

OA

⊥

OB

得：
x₁x₂+y₁y₂=0，（1分）
即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，化简得：3m²-8k²-8=0，（1分）
因为圆心到直线的距离d=

|m|

1+k2

，（1分）
d2=

m2

1+k2

=

m2

1+

3m2-8

8

=

8

3

，
而r2=

8

3

，∴d²=r²，即d=r．（1分）
此时直线AB与圆O相切
当直线AB的斜率不存在时，由

OA

⊥

OB

可以计算得A，B的坐标为(

2

6

3

，±

2

6

3

)或(-

2

6

3

，±

2

6

3

)．
此时直线AB的方程为x=±

2

6

3

．
满足圆心到直线的距离等于半径，即直线AB与圆O相切．（1分）
综上，直线AB与圆O相切．（1分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知离心率为22的椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点M（6，1..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：