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1、试题题目：设平面上向量a=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），b=（-12，32）．（1）试证：向..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

设平面上向量
a
=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），
b
=（-
1
2
，
3
2
）．
（1）试证：向量
a
+
b
与
a
-
b
垂直；
（2）当两个向量
3
a
+
b
与
a
-
3
b
的模相等时，求角α．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：用数量积表示两个向量的夹角



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）证明：因为
a
=(cosα，sinα)，
b
=(-
1
2
，
3
2
)，
所以
a
+
b
=(cosα-
1
2
，sinα+
3
2
)，
a
-
b
=(cosα+
1
2
，sinα-
3
2
)．
(
a
+
b
)?(
a
-
b
)=(cosα-
1
2
，sinα+
3
2
)?(cosα+
1
2
，sinα-
3
2
)
=(cosα-
1
2
)(cosα+
1
2
)+(sinα+
3
2
)(sinα-
3
2
)
=cos2α-
1
4
+sin2α-
3
4
=0．
所以向量
a
+
b
与
a
-
b
垂直；
（2）由|
a
|=1，|
b
|=1，且|
3
a
+
b
|=|
a
-
3
b
|，平方得(
3
a
+
b
)2=(
a
-
3
b
)2，
整理得2
a
2-2
b
2+4
3
a
?
b
=0，即
a
?
b
=0．
所以
a
?
b
=(cosα，sinα)?(-
1
2
，
3
2
)=-
1
2
cosα+
3
2
sinα=0，
即cos（60°+α）=0，或tanα=
3
3
．
因为0°≤α＜360°，所以α=30°或α=210°．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设平面上向量a=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），b=（-12，32）．（1）试证：向..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积表示两个向量的夹角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积表示两个向量的夹角”。


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