在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．且a-cb-c=sinBsinA+sinC．（1）求角A的大小及角B的取值范围；（2）若a=3，求b2+c2的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．且a-cb-c=sinBsi..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-11 07:30:00

试题原文

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．且

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

．
（1）求角A的大小及角B的取值范围；
（2）若a=

3

，求b²+c²的取值范围．

试题来源：张掖模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

得

a-c

b-c

=

b

a+c

即b²+c²-a²=bc
得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，A∈（0，

π

2

）
故A=

π

3

．
又∵△ABC是锐角三角形，∴

π

2

＜B+A，即

π

2

＜B+

π

3

，得B＞

π

6

故

π

6

＜B＜

π

2

．
（2）由

a

sinA

=2R，得2R=

3

sin

π

3

=2，∴b=2sinB，c=2sinC
∵B+C=

2π

3

，∴C=

2π

3

-B
∴b²+c²=4（sin²B+sin²C）=2（1-cos2B+1-cos2C）=4-2（cos2B+cos2C）=4-2[cos2B+cos(

4π

3

-2B)]=4-2(

1

2

cos2B-

3

2

sin2B)=4-2cos(2B+

π

3

)
∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴

2π

3

＜2B+

π

3

＜

4π

3

∴当2B+

π

3

=π时，即B=

π

3

时，b²+c²取得最大值6．
当2B+

π

3

=

4π

3

时，即B=

π

2

时，b²+c²取得最小值5．
故所求b²+c²的取值范围是（5，6]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．且a-cb-c=sinBsi..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦定理”。

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