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1、试题题目：如图，过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B，作圆的切线AC、BD，再过..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

如图，过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B，作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD于C、D两点，设AD、BC的交点为R，
(1)求动点R的轨迹E的方程；
(2)过曲线E的右焦点F作直线l交曲线E于M、N两点，交y轴于P点，且记=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．

  试题来源：同步题   试题题型：解答题   试题难度：偏难   适用学段：高中   考察重点：椭圆的标准方程及图象



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：(1)设点H的坐标为(x0，y0)，则x+y=4，
由题意可知y0≠0，且以H为切点的圆的切线的斜率为：-，
故切线方程为：y-y0=-(x-x0)，
展开得x0x+y0y=x02+y02=4，
即以H为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=4，
∵A(-2，0)，B(2，0)，
将x=±2代入上述方程可得点C，D的坐标分别为C(-2，)，D(2，)，
则lAD：，①，
及lBC：，②
将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为：x2+4y2=4，即+y2=1。
(2)由(1)知轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F(，0)，
(ⅰ)当直线l的斜率为0时，M、N、P三点在x轴上，
不妨设M(2，0)，N(-2，0)，且P(0，0)，
此时有|PM|=2，|MF|=2-，|PN|=2，|NF|=2+，
所以λ1+λ2=；
(ⅱ)当直线l的斜率不为0时，设直线MN的方程是：x=my+(m≠0)，
则点P的坐标为(0，-)，
且设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x可得：(m2+4)y2+2my-1=0，
则y1+y2=，y1y2=，
λ1+λ2==-8(定值)．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B，作圆的切线AC、BD，再过..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。


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