已知直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（7分）（Ⅱ）已知圆O：x2+y2=1，直线l：mx+ny=1．试证-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（7分）
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．（8分）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R），得x-y-3+k（x-3）=0，
则由

x-y-3=0

x-3=0

，解得定点F（3，0）；
设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则

c=3

a+c=8

a2=b2+c2

，解得

a=5

b=4

c=3

；
所以椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以1=

m2

25

+

n2

16

＜m2+n2，从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离d=

1

m2+n2

＜1=r，所以直线l与圆O恒相交；
又直线l被圆O截得的弦长为L=2

r2-d2

=2

1-

1

m2+n2

=2

1-

1

9

25

m2+16

，
由于0≤m²≤25，所以16≤

9

25

m2+16≤25，则L∈[

15

2

，

4

6

5

]，
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是L∈[

15

2

，

4

6

5

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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