过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x22+y2=1交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为_____

1、试题题目：过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x22+y2=1交于A、C与B、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-04 07:30:00

试题原文

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：

x2

2

+y2=1交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意可得四边形ABCD的对角线互相垂直，且四个顶点在椭圆

x2

2

+y2=1上．
可设A（

2

cosα，sinα ），B（

2

cos[α+90°]，sin[α+90°]），0°≤α≤180°．
则四边形ABCD面积等于4×S_△AOB=4×

1

2

|OA|?|OB|=2

2cos2α+sin2α

×

2cos2(α+90°)+sin2(α+90°)

=2

(1+cos2α)(1+sin2α)

=2

2+

1

4

sin2 2α

≥2

2

当且仅当sin2α=0，即 α=0°或180°时，等号成立．
故四边形ABCD面积的最小值等于2

2

．
故答案为：2

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x22+y2=1交于A、C与B、..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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