设椭圆x22+y2=1上一点P与原点O的距离为|OP|=r1，OP的倾斜角为θ，将射线OP绕原点O逆时针旋转90°后与椭圆相交于点Q，若|OQ|=r2，则r1r2的最小值为（）A．23B．43C．2D．2-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆x22+y2=1上一点P与原点O的距离为|OP|=r1，OP的倾斜角为θ，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-04 07:30:00

试题原文

设椭圆

x2

2

+y2=1上一点P与原点O的距离为|OP|=r₁，OP的倾斜角为θ，将射线OP绕原点O逆时针旋转90°后与椭圆相交于点Q，若|OQ|=r₂，则r₁r₂的最小值为（　　）

A．

2

3

B．

4

3

C．

2

D．2

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设直线OP方程为y=kx，点P（x₁，y₁）
∵点P是椭圆

x2

2

+y2=1与直线y=kx的交点
∴由

y=kx

x2

2

+y2=1

可得：x12=

1

2

+k2

=

2

1+2k2

，y12=k²x²=

2k2

1+2k2

∵点P与原点O的距离为|OP|=r₁，
∴r₁²=x12+y12=

1+k2

1

2

+k2

=

2+2k2

1+2k2

，
∵OQ是由OP绕原点逆时针旋转90°而得，
∴直线OQ方程为y=

1

k

x，
再设Q（x₂，y₂），用类似于求r₁²的方法，可得r₂²=x22+y22=

2+2k2

2+k2

∴r₁、r₂满足

1

r12

+

1

r22

=

3

2

，可得r12+r22=

3

2

r12r22
根据基本不等式，可得r12+r22≥2r₁r₂
∴

3

2

r12r22≥2r₁r₂，即r₁r₂≥

4

3

，当且仅当r₁=r₂，即k²=1时，r₁r₂取到最小值

4

3

故选B

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆x22+y2=1上一点P与原点O的距离为|OP|=r1，OP的倾斜角为θ，..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：