数列{an}满足a1=2，an+1=2n+1an(n+12)an+2n(n∈N*)．（1）设bn=2nan，求数列{bn}的通项公式；（2）设cn=1n(n+1)an+1，数列{cn}的前n项和为Sn，求出Sn并由此证明：516≤Sn＜12．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足a1=2，an+1=2n+1an(n+12)an+2n(n∈N*)．（1）设bn=2nan，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a₁=2，an+1=

2n+1an

(n+

1

2

)an+2n

(n∈N*)．
（1）设bn=

2n

an

，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

1

n(n+1)an+1

，数列{c_n}的前n项和为S_n，求出S_n并由此证明：

5

16

≤Sn＜

1

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵an+1=

2n+1an

(n+

1

2

)an+2n

(n∈N*)，
∴

2n+1

an+1

-

2n

an

=n+

1

2

∵bn=

2n

an

∴b_n+1-b_n=n+

1

2

∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1）=b1+

n2-1

2

∵bn=

2n

an

，a₁=2，
∴b₁=1
∴b_n=

n2+1

2

；
（2）由（1）知，a_n=

2n+1

n2+1

，∴an+1=

2n+2

(n+1)2+1

，
∴cn=

1

n(n+1)an+1

=

1

2

[

1

2n+1

+

1

n×2n

-

1

(n+1)×2n+1

]
∴S_n=

1

2

×

1

22

(1-

1

2n

)

1-

1

2

+

1

2

[

1

2

-

1

(n+1)×2n+1

]=

1

2

[1-(

1

2

)n+1×

n+2

n+1

]
∵(

1

2

)n+1×

n+2

n+1

=(

1

2

)n+1×(1+

1

n+1

)得到递减，
∴(

1

2

)n+1×

n+2

n+1

≤(

1

2

)1+1×

1+2

1+1

=

3

8

∴

5

16

≤

1

2

[1-(

1

2

)n+1×

n+2

n+1

]＜

1

2

，即

5

16

≤Sn＜

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足a1=2，an+1=2n+1an(n+12)an+2n(n∈N*)．（1）设bn=2nan，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：