已知数列an满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项；（Ⅱ）若bn=nan求数列{bn}的前n项Sn和．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列an满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列a_n满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=

n

2

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）若bn=

n

an

求数列{b_n}的前n项S_n和．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）n=1时，a₁=

1

2

∵a1+2a2+2a3…+2n-1an=

n

2

…..（1）
∴n≥2时，a1+2a2+2a3…+2n-2an-1=

n-1

2

…．（2）
（1）-（2）得2n-1an=

1

2

即an=

1

2n

又a1=

1

2

也适合上式，∴an=

1

2n

（Ⅱ）bn=n?2n，∴Sn=1?2+2?22+3?23+…+n?2n（3）
2Sn=1?22+2?23+…+(n-1)?2n+n?2n+1（4）
（3）-（4）可得-S_n=1?2+1?2²+1?2³+…+1?2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n?2n+1=2n+1-2-n?2n+1
∴Sn=(n-1)?2n+1+2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列an满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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