已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+2n-1（n≥2，n∈N*），又数列{an+λ2n}为等差数列．（1）求实数λ的值及{an}的通项公式an（2）求数列{an}的前n项和Sn（最后结果请化成最简式）-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+2n-1（n≥2，n∈N*），又数列{an+λ2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2，n∈N^*），又数列{

an+λ

2n

}为等差数列．
（1）求实数λ的值及{a_n}的通项公式a_n
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n（最后结果请化成最简式）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）n≥2，

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

因为为等差数列所以1-

1+λ

2n

为常数，所以λ=-1----（4分）
n≥2，

an+1

2n

-

an-1+1

2n-1

=1且

a1+1

21

=1，得

an+1

2n

=n，
所以a_n=n×2ⁿ-1-------------------（7分）
（2）S_n=（1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-n
记 T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹
得T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2------------------（12分）
所以S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-n-----------------（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+2n-1（n≥2，n∈N*），又数列{an+λ2..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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