设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn=(-1)n+1logann+12，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：当n∈N*且n≥2时，T2n＜22．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．（1）求数列{an}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令cn=(-1)n+1log

an

n+1

2，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N*且n≥2时，T2n＜

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以数列{

an

2n

}是公差为1的等差数列．（5分）
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+(n-1)=n+1，故a_n=（n+1）?2ⁿ．（6分）
（2）因为cn=(-1)n+1?

1

n

，则当n≥2时，T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

++

1

2n-1

-

1

2n

=(1+

1

2

+

1

3

++

1

2n

)-2(

1

2

+

1

4

++

1

2n

)=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

．（9分）

下面证

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

＜

2

令g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，则g′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，ln(x+1)＞

x

x+1

令x=

1

n

，ln

n+1

n

＞

1

n+1

?ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，ln(n+2)-ln(n+1)＞

1

n+2

，
，ln(n+3)-ln(n+2)＞

1

n+3

，，ln(2n)-ln(2n-1)＞

1

2n

以上n个式相加，即有ln(2n)-lnn＞

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

∴

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

＜ln(2n)-lnn=ln2＜

2

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．（1）求数列{an}..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：