数列{an}中，a3=1，a1+a2+…+an=an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a4，a5；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；（Ⅲ）设bn=log2Sn，存在数列{cn}使得cn?bn+3?bn+4=n（n+1）（n+2）Sn，试求数列{cn}的-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}中，a3=1，a1+a2+…+an=an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a4，a5；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

数列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₄，a₅；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n?b_n+3?b_n+4=n（n+1）（n+2）S_n，试求数列{c_n}的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当n=1时，有a₁=a₂；当n=2时，有a₁+a₂=a₃；…
∵a₃=1，
∴a₁=

1

2

，a₂=

1

2

，a₄=2，a₅=4．…（4分）
（Ⅱ）∵S_n=a_n+1=S_n+1-S_n，…（6分）
∴2S_n=S_n+1
∴

Sn+1

Sn

=2…（8分）
∴{S_n}是首项为S₁=a₁=

1

2

，公比为2的等比数列．
∴S_n=

1

2

?2^n-1=2^n-2…（10分）
（Ⅲ）由S_n=2^n-2，得b_n=n-2，
∴b_n+3=n+1，b_n+4=n+2，
∵c_n?b_n+3?b_n+4=n（n+1）（n+2）S_n，
∴c_n?（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）2^n-2，
即c_n=n?2^n-2． …（12分）
T_n=1×2^-1+2×2⁰+3×2¹+4×2²+…+n?2^n-2…①
则2T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+（n-1）?2^n-2+n?2^n-1…②
②一①得
T_n=n?2^n-1-2^-1-2⁰-2¹-…-2^n-2=n?2^n-1-

2-1(1-2n)

1-2

=n?2^n-1+

1

2

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}中，a3=1，a1+a2+…+an=an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a4，a5；..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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