已知数列an满足a1=14，an=an-1(-1)nan-1-2(n≥2，n∈N)（1）求数列an的通项公式an；（2）设bn=1a2n，求数列bn的前n项和Sn；（3）设cn=ansin(2n-1)π2，数列cn的前n项和为Tn．求证：对任-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列an满足a1=14，an=an-1(-1)nan-1-2(n≥2，n∈N)（1）求数列an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列a_n满足a1=

1

4

，an=

an-1

(-1)nan-1-2

(n≥2，n∈N)
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）设bn=

1

a

2n

，求数列b_n的前n项和S_n；
（3）设cn=ansin

(2n-1)π

2

，数列c_n的前n项和为T_n．求证：对任意的n∈N*，Tn＜

4

7

．

试题来源：深圳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
又∵

1

a1

+(-1)=3，所以数列{

1

an

+(-1)n}（n∈N^*）是以3为首项，-2为公比的等比数列，
∴an=

(-1)n-1

3×2n-1+1

．
（2）b_n=（3×2^n-1+1）²
=9?4^n-1+6?2^n-1+1，
∴Sn=9?

1?(1-4n)

1-4

+6?

1?(1-2n)

1-2

+n
=3?4ⁿ+6?2ⁿ+n-9．
（3）证明：由（1）知an=

(-1)n-1

3?2n-1+1

，sin

(2n-1)

2

=(-1)n-1，∴cn=

1

3?2n-1+1

，当n≥3时，则Tn=

1

3+1

+

1

3?2+1

+

1

3?22+1

++

1

3?2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3?22

+

1

3?23

++

1

3?2n-1

=

11

28

+

1

12

[1-(

1

2

)n-2]

1-

1

2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

48

84

=

4

7

又∵T₁＜T₂＜T₃，
∴对任意的n∈N^*，T_n＜

4

7

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列an满足a1=14，an=an-1(-1)nan-1-2(n≥2，n∈N)（1）求数列an..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：