在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1n）an+n+12n．（1）设bn=ann，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1n）an+n+12n．（1）设bn=ann，求数列{..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+

1

n

）a_n+

n+1

2n

．
（1）设b_n=

an

n

，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得b₁=a₁=1，且

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

，
即b_n+1=b_n+

1

2n

，从而b₂=b₁+

1

2

，
b₃=b₂+

1

22

，
b_n=b_n-1+

1

2n-1

（n≥2）．
于是b_n=b₁+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-

1

2n-1

（n≥2）．
又b₁=1，
故所求的通项公式为b_n=2-

1

2n-1

．
（2）由（1）知a_n=2n-

n

2n-1

，
故S_n=（2+4++2n）-（1+

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

），
设T_n=1+

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

，①

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，②
①-②得，

1

2

T_n=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-

1

2n

1-

1

2

-

n

2n

=2-

2

2n

-

n

2n

，
∴T_n=4-

n+2

2n-1

．
∴S_n=n（n+1）+

n+2

2n-1

-4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1n）an+n+12n．（1）设bn=ann，求数列{..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：