已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，Sn=nan+2-n(n-1)2，(n≥2，n∈N*)．（I）求数列{an}的通项公式；（II）已知bn＞an，（n≥2，n∈N*），求证：（1+1b2b3）（1+1b3b4）（1+1b4b5）…（1+1bnbn+1-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，Sn=nan+2-n(n-1)2，(n≥2，n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=4，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，(n≥2，n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）已知b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*），求证：（1+

1

b2b3

）（1+

1

b3b4

）（1+

1

b4b5

）…（1+

1

bnbn+1

）＜

3	e

．

试题来源：广州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当n≥3时，由sn=nan+2-

n(n-1)

2

，
S_n-1=（n-1）a_n-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，
可得an=nan-(n-1)an-1-

n-1

2

×2，
故a_n-a_n-1=1（n≥3，n∈N⁺）．
所以a_n=

4 n=1

n+1 n≥2

（II）设f（x）=ln（1+x）-x，则f'（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x
∵n≥2时，

1

bn

＜

1

an

=

1

n+1

，ln（1+

1

bn?bn+1

）＜

1

bn?bn+1

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴ln（1+

1

b2?b3

）+ln（1+

1

b3? b4

）+…+ln（1+

1

bn?bn+1

）＜

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

3

-

1

n+2

＜

1

3

．
∴（1+

1

b2b3

）（1+

1

b3b4

）（1+

1

b4b5

）…（1+

1

bnbn+1

）＜

3	e

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，Sn=nan+2-n(n-1)2，(n≥2，n..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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