已知首项为1的数列{an}满足：对任意正整数n，都有：a1?2a1-1+a2?2a2-1+a3?2a3-1+…+an?2an-1=(n2-2n+3)?2n+c，其中c是常数．（Ⅰ）求实数c的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列-数学试题及答案

1、试题题目：已知首项为1的数列{an}满足：对任意正整数n，都有：a1?2a1-1+a2?2a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知首项为1的数列{a_n}满足：对任意正整数n，都有：a1?2

a1

-1+a2?2

a2

-1+a3?2

a3

-1+…+an?2

an

-1=(n2-2n+3)?2n+c，其中c是常数．
（Ⅰ）求实数c的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{

an

?(-

1

2

)

an

-1}的前n项和为S_n，求证：S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．

试题来源：深圳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=1时，1×2⁰=2×2+c，
解得c=-3．
（Ⅱ）∵a1?2

a1

-1+a2?2

a2

-1+a3?2

a3

-1+…+an?2

an

-1=(n2-2n+3)?2n+c，①
∴a1?2

a1

-1+a2?2

a2

-1+a3?2

a3

-1+…+an-1?2

an-1

-1=[（n-1）²-2（n-1）+3]?2^n-1+c，②
①-②，并整理，得an?2

a n

-1=n2?2n-1，
∴a_n=n²．
（Ⅲ）∵a_n=n²，
∴数列{

an

?(-

1

2

)

an

-1}={n?(-

1

2

)n-1}．
∴S_2n-1=1+2?(-

1

2

) +3?(-

1

2

)2+…+（2n-1）?(-

1

2

)2n-2，
-

1

2

S_2n-1=1?(-

1

2

) +2?(-

1

2

)2+…+（2n-2）?(-

1

2

)2n-2+（2n-1）?(-

1

2

)2n-1，
∴

3

2

S_2n-1=1+(-

1

2

) +(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)2n-2-（2n-1）?(-

1

2

)2n-1，
=

1×[1-(-

1

2

)2n-1]

1-(-

1

2

)

=

2

3

[1-(-

1

2

)2n-1]，
∴S2n-1=

4

9

[1-(-

1

2

)2n-1]＞

4

9

．
同理，S_2m=

4

9

[1-(-

1

2

)2m]＜

4

9

．
∴S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知首项为1的数列{an}满足：对任意正整数n，都有：a1?2a1-1+a2?2a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：