已知数列{an}满足anan-1=n+1n-1(n∈N*，n＞1)，a1=2（I）求证：数列{an}的通项公式为an=n（n+1）（II）求数列{1an}的前n项和Tn；（III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有|Tn-1|＜11-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足anan-1=n+1n-1(n∈N*，n＞1)，a1=2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足

an

an-1

=

n+1

n-1

(n∈N*，n＞1)，a₁=2
（I）求证：数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）
（II）求数列{

1

an

}的前n项和T_n；
（III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有|Tn-1|＜

1

10

成立．若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

试题来源：崇文区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（I）由3S_n=（n+2）a_n
得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2）
二式相减得3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1∴（n-1）a_n=（n+1）a_n-1∴

an

an-1

=

n+1

n-1

(n≥2)
∴

an-1

an-2

=

n

n-2

；…；

a3

a2

=

4

2

；

a2

a1

=

3

1

；a1=2
叠乘得：a_n=n（n+1）（n∈N^*）（7分）
（II）∵

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

（10分）
（III）令|Tn-1|=|

n

n+1

-1|=

1

n+1

＜

1

10

得：n+1＞10，n＞9
故满足条件的M存在，M={n∈N|n＞9，n∈N^*}是一个这样的集合（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足anan-1=n+1n-1(n∈N*，n＞1)，a1=2..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：