设数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1，a3+b5=21，a5+b3=13，（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若数列{anbn}的前n项和为Sn，试比较Sn与4的大小关-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}是等差数列，{b_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=b₁，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{

an

bn

}的前n项和为S_n，试比较S_n与4的大小关系．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0且

1+2d+q4=21

1+4d+q2=13

解得d=2，q=2．
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．
（2）

an

bn

=

2n-1

．
Sn=1+

3

21

+

5

22

++

2n-3

2n-2

+

2n-1

，①
∴2Sn=2+3+

5

2

++

2n-3

+

2n-1

2n-2

，②
②-①得Sn=2+2+

2

+

2

22

++

2

2n-2

-

2n-1

=2+2×(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-2

)-

2n-1

=2+2×

1-

1

2n-1

1-

1

2

-

2n-1

=6-

2n+3

2n-1

．
S_n-4=2-

2n+3

2n-1

，
由S_n-4＜0得出2ⁿ＜2n+3，解得n=1，2，3，
由S_n-4＞0得出2ⁿ＞2n+3，解得n=4，5，6，…．
所以当n≤3时S_n＜4，当n≥4时S_n＞4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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