发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-23 07:30:00
| 试题原文 |
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| 解：（1）由抛物线经过点O（0，0）A（m，0）， 设抛物线方程y=kx（x﹣m），k≠0， 又抛物线过点P（m+1，m+1）， 则m+1=k（m+1）（m+1﹣m），得k=1， 所以y=g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx． （2）f（x）=（x﹣n）g（x）=x（x﹣m）（x﹣n）=x3﹣（m+n）x2+mnx， f′（x）=3x2﹣2（m+n）x+mn， 函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，故f′（a）=0，f′（b）=0， ∵m＞n＞0， ∴f′（m）=3m2﹣2（m+n）m+mn=m2﹣mn=m（m﹣n）＞0 f′（n）=3n2﹣2（m+n）+mn=n2﹣mn=n（n﹣m）＜0 又b＜a，故b＜n＜a＜m． （3）设切点Q（x0，y0），则切线的斜率k=f′（x0）=3x02﹣2（m+n）x0+mn 又y0=x03﹣（m+n）x02+mnx0， 所以切线的方程是 y=x03﹣（m+n）x02﹣mnx0=[3x02﹣2（m+n）x0+mn]（x﹣x0） 又切线过原点，故﹣x03﹣（m+n）x02﹣mnx0=﹣3x03﹣2（m+n）x02+mnx0， 所以2x03﹣（m+n）x02=0，解得x0=0，或x0=  ．两条切线的斜率为k1=f′（0）=mn，k2=f′（  ），由m+n≤2  ，得（m+n）2≥8，∴﹣  （m+n）2≥﹣2， ∴k2=f′（  ）=  ﹣2（m+n）· +mn=﹣  （m+n）2+mn≥mn﹣2 所以k1k2=（mn）2﹣2mn=（mn﹣1）2﹣1≥﹣1， 又两条切线垂直，故k1k2=﹣1， 所以上式等号成立，有m+n=2  ，且mn=1．所以f（x）=x3﹣（m+n）x2+mnx=x3﹣2  x2+x． |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“抛物线y=g（x）经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。
，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=（x）均相切，求y=f（x）