如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2。（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；（2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小。-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-19 07:30:00

试题原文

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2。

（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小。

试题来源：湖南省高考真题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等边三角形
因为E是CD的中点，
所以BE⊥CD
又AB∥CD
所以BE⊥AB
又因为PA⊥平面ABCD，

平面ABCD，
所以PA⊥BE
而PA∩AB=A
因此BE⊥平面PAB
又

平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB。
（2）过点A作AH⊥PB于H，由（1）知平面PBE⊥平面PAB
所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF=60°，
所以，AF=2AB=2=AP
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG
则AG⊥PF
连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）
在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面与平面垂直的判定与性质”。

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