如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ABB1和BCC1B1是两个全等的正方形，AC1⊥平面A1DB，D为AC的中点．(Ⅰ)求证：平面A1ABB⊥平面BCC1B1；(Ⅱ)求证：B1C∥平面A1DB；(Ⅲ)设E是CC1上-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ABB1和BCC1B1是两个全等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-19 07:30:00

试题原文

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁和BCC₁B₁是两个全等的正方形，AC₁⊥平面A₁DB，D为AC的中点．
(Ⅰ)求证：平面A₁ABB⊥平面BCC₁B₁；
(Ⅱ)求证：B₁C∥平面A₁DB；
(Ⅲ)设E是CC₁上一点，试确定点E的位置，使平面A₁DB⊥平面BDE，并说明理由．

试题来源：辽宁省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

(Ⅰ)解法一：∵AC₁⊥平面A₁DB，A₁B平面A₁DB， ∴AC₁⊥A₁B，又在正方形A₁ABB₁中，A₁B⊥AB₁，AC₁∩AB₁=A， ∴A₁B⊥面AC₁B₁，又B₁C₁面AC₁B₁， ∴ A₁B⊥B₁C₁，又在正方形BCC₁B₁中有，B₁C₁⊥BB₁，又BB₁∩A₁B=B， ∴B₁C₁⊥平面A₁ABB₁，B₁C₁平面B₁BCC₁， ∴平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁。解法二：由已知可知三棱柱是直三棱柱， ∴四边形A₁ACC₁为矩形，又AC₁⊥平面A₁DB，A₁D平面A₁DB， ∴AC₁⊥A₁D，又D为AC的中点， ∴由平面几何知识可知，△A₁AD~△ACC₁， ∴AA₁：AD=AC：CC₁，AC²= AA₁·CC₁=AB²， ∴AC=AB， ∴AB⊥BC，又BC⊥BB₁且BB₁∩AB=B， ∴BC⊥平面A₁ABB₁，BC平面BCC₁B₁， ∴平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁。
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知BC，BB₁，BA两两垂直，如图以B为原点，BC，BB₁，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系B-xyz，设正方形边长为1，则，，由AC₁⊥平面A₁DB，得平面A₁DB的法向量为， ∵， ∴，又平面A₁DB， ∴平面A₁DB。解法二：连接AB₁交A₁B于点O，连接OD， ∴O为AB1中点，又D为AC中点， ∴在△ACB1中，OD// CB₁， ∵CB₁平面A₁DB₁，OD平面A₁DB， ∴B₁C∥平面A₁BD。
(Ⅲ)解法一：设点E(1，b，0)，平面BDE的法向量为m=(x，y，z)，则有，得，令y=l，则m=(-b，1，b)，由m·n=(1，1，-1)·(-b，1，b)=0，得b=，即当E为CC₁中点时，平面A₁BD⊥平面BDE。解法二：取CC₁中点E， D为AC中点，在△ACC₁中， ∴DE∥AC₁，又AC₁⊥平面A₁DB， ∴DE⊥平面A₁DB，DE平面BDE， ∴平面A₁DB⊥平面BDE，即当E为CC₁中点时，平面A₁DB⊥平面BDE。