设双曲线C：x2a2-y2b2=1的右焦点为F2，过点F2的直线l与双曲线C相交于A，B两点，直线l的斜率为35，且AF2=2F2B；（1）求双曲线C的离心率；（2）如果F1为双曲线C的左焦点，且F1到l的-数学试题及答案

1、试题题目：设双曲线C：x2a2-y2b2=1的右焦点为F2，过点F2的直线l与双曲线C相交..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点为F₂，过点F₂的直线l与双曲线C相交于A，B两点，直线l的斜率为

35

，且

AF2

=2

F2B

；
（1）求双曲线C的离心率；
（2）如果F₁为双曲线C的左焦点，且F₁到l的距离为

2

35

3

，求双曲线C的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

作双曲线的右准线L：x=

a2

c

，
分别作AA₁⊥L，BB₁⊥L，垂足分别为A₁、B₁，作BH⊥AA₁，交AA₁于H，
根据双曲线第二定义，

|AF2|

|AA1|

=

|BF2|

|BB1|

=e，（e是离心率），
∵

AF2

=2

F2B

，
∴|AA₁|=2|BB₁|=2|A₁H|，
∴H为线段AA₁的中点，故|A₁H|=|AH|，
设|BB₁|=m，则|AH|=m，|AA₁|=2m①
∵直线AB的斜率为

35

，设AB与x轴成角为θ，则tanθ=

35

，即

|BH|

|AH|

=

35

，
∴|BH|=

35

|AH|=

35

m，
∴在直角三角形BHA中，|AB|=6m；
∴|AF₂|=4m，②
由①②得：e=

|AF2|

|AA1|

=

4m

2m

=2；
（2）∵直线方程l为：y=

35

（x-c），即

35

x-y-

35

c=0，
左焦点F₁至AB距离d=

|-

35

c-0-

35

c|

(

35

)2+1

=

2

35

c

6

=

35

c

3

，
又F₁到l的距离为

2

35

3

，
∴

35

c

3

=

2

35

3

，
∴c=2，又e=

c

a

=2，
∴a=1，b=

3

，
∴双曲线方程为：x²-

y2

3

=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设双曲线C：x2a2-y2b2=1的右焦点为F2，过点F2的直线l与双曲线C相交..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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