已知圆A的圆心为（2，0），半径为1，双曲线C的两条渐近线都过原点，且与圆A相切，双曲线C的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称．（1）求双曲线C的方程；（2）设直线l过点A，斜率为k，当-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆A的圆心为（2，0），半径为1，双曲线C的两条渐近线都过原点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

已知圆A的圆心为（

2

，0），半径为1，双曲线C的两条渐近线都过原点，且与圆A相切，双曲线C的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为

2

，试求k的值及此时点B的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设双曲线的渐近线为y=kx，则

|

2

k|

k2+1

=1，解得k=±1．即渐近线为y=±x．
又点A关于y=x的对称点A'的坐标为（0，

2

），
所以，a=b=

2

，双曲线的方程为

y2

2

-

x2

2

=1．
（2）直线l：y=k（x-

2

），（0＜k＜1）．
依题意设B点在与l平行的直线l'上，且l与l'间的距离为

2

，设直线l'：y=kx+m，则

|

2

k+m|

k2+1

=

2

，即m²+2

2

km=2①
把l'代入双曲线方程得：（k²-1）x²+2mkx+m²-2=0
∵0＜k＜1，∴k²-1≠0．∴△=4（m²+2k²-2）=0，即m²+2k²=2②
解①②，得m=

10

5

，k=

2

5

．
此时，x=2

2

，y=

10

，所以B（2

2

，

10

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆A的圆心为（2，0），半径为1，双曲线C的两条渐近线都过原点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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