双曲线C的中心在原点，右焦点为F(233，0)，渐近线方程为y=±3x．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．-数学试题及答案

1、试题题目：双曲线C的中心在原点，右焦点为F(233，0)，渐近线方程为y=±3x．（Ⅰ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

双曲线C的中心在原点，右焦点为F(

2

3

， 0)，渐近线方程为y=±

3

x．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设双曲线的方程是

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，则c=

2

3

，

b

a

=

3

．
又∵c²=a²+b²，∴b²=1，a2=

1

3

．
所以双曲线的方程是3x²-y²=1．
（Ⅱ）①由

y=kx+1

3x2-y2=1

得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，得-

6

＜k＜

6

，且 k≠±

3

．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，
所以 x₁x₂+y₁y₂=0．
又x1+x2=

-2k

k2-3

，x1x2=

2

k2-3

，
所以 y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=1，
所以

2

k2-3

+1=0，解得k=±1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“双曲线C的中心在原点，右焦点为F(233，0)，渐近线方程为y=±3x．（Ⅰ..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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