已知F是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）右焦点，若F到双曲线C的渐近线的距离是1，且双曲线C的离心率e=62．（1）求双曲线C的方程；（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同-数学试题及答案

1、试题题目：已知F是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）右焦点，若F到双曲..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

已知F是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右焦点，若F到双曲线C的渐近线的距离是1，且双曲线C的离心率e=

6

2

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若

AP

=

1

2

AQ

，求直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由对称性，不妨设一渐近线为y=

b

a

x，右焦点为F（c，0），
则

bc

a2+b2

=1，即b=1又e=

c

a

=

6

2

∴解得a²=2，所以双曲线C的方程是

x2

2

-y2=1；
（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y=kx+1

x2-2y2=2

得：（1-2k²）x²-4kx-4=0，
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，
∴

△=16k2+16(1-2k2)＞0

x1+x2=

-4k

2k2-1

＞0

x1x2=

4

2k2-1

＞0

1-2k2≠0

∴

1

2

＜k2＜1且k＜0①
又∵

AP

=

1

2

AQ

，∴(x1，y1-1)=

1

2

(x2，y2-1)x₂=2x₁
∴3x1=

-4k

2k2-1

，3x1=

-8k

2k2-1

∴9x1x2=

32k2

(2k2-1)2

=9×

4

2k2-1

，k=±

3

10

满足①式．
∴直线l的方程为y=

3

10

x+1或y=-

3

10

x+1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知F是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）右焦点，若F到双曲..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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