已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两点，且AB⊥AC，|BC|=6．（1）求双曲线的方程；（2）设过点F且不垂直于x轴的直-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两点，且AB⊥AC，|BC|=6．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点F且不垂直于x轴的直线l与双曲线分别交于点P、Q，请问：是否存在直线l，使△APQ构成以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得A（-a，0），F（c，0），BC⊥x轴，
∴B(c，

b2

a

)，C(c，-

b2

a

)．…（2分）
∴c=2a…（3分）
又|BC|=6，
∴

2b2

a

=6…（4分）
∴a²=1，b²=3，
∴所求双曲线的方程为x2-

y2

3

=1．…（6分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

y=k(x-2)

x2-

y2

3

=1

，
得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0．…（7分）
∵l与双曲线有两个交点，故k²-3≠0．
∴

x1+x2=

4k2

k2-3

x1x2=

4k2+3

k2-3

…（8分）
要使△APQ成等腰直角三角形，
则需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|
由AP⊥AQ，
得（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0…（10分）
即(1+k2)

4k2+3

k2-3

+(1-2k2)

4k2

k2-3

+1+4k2=0，
对k∈R，且k≠±

3

恒成立（12分）
由|AP|=|AQ|得

(x1+1)2+y12=(x2+1)2+y22

∴x1+x2+2=-k2(x1+x2-4)∴(1+k2)

4k2

k2-3

=4k2-2

解得k2=

1

3

即k=±

3

…（14分）
综上所述，所求直线存在，其方程为y=±

3

(x-2)（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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