已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3)，以右焦点F2为圆心作圆与两条渐近线相切，圆面积恰为12π．（1）求双曲线的方程；（2）任作一直线l与双曲线右支交于两点A-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3)..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，

3

)，以右焦点F₂为圆心作圆与两条渐近线相切，圆面积恰为12π．
（1）求双曲线的方程；
（2）任作一直线l与双曲线右支交于两点A，B，与渐近线交于两点C，D，A在B，C两点之间，求证：|AC|=|BD|．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，

3

)，∴

b

a

=

3

2

，
∴一条渐近线方程方程

3

x-2y=0
∵圆面积为12π，∴圆的半径为2

3

∵以右焦点F₂为圆心作圆与两条渐近线相切
∴

|

3

c|

7

=2

3

，∴c=2

7

∴a²=16，b²=12
∴双曲线的方程为

x2

16

-

y2

12

=1；
（2）证明：设直线为x=my+n代入双曲线方程可得（3m²-4）y²+6mny+3n²-48=0
又双曲线的渐近线方程为

x2

16

-

y2

12

=0，直线方程代入可得（3m²-4）y²+6mny+3n²=0
∵直线l与双曲线右支交于两点A，B，与渐近线交于两点C，D，A在B，C两点之间，
∴AB、CD 的中点重合
∴|AC|=|BD|．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3)..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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