已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率e=233，直线l过A（a，0），B（0，-b）两点，原点O到直线l的距离是32．（1）求双曲线的方程；（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OM?ON=-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率e=233，直线l..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-23 07:30:00

试题原文

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e=

2

3

，直线l过A（a，0），B（0，-b）两点，原点O到直线l的距离是

3

2

．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若

OM

?

ON

=-23，求直线m的方程．

试题来源：西安二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，l方程

x

a

+

y

-b

=1，即bx-ay-ab=0，由原点O到l的距离为

3

2

，得

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

2

，又e=

c

a

=

2

3

，
∴b=1，a=

3

．
故所求双曲线方程为

x2

3

-y²=1．
（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx-1，
则点M、N坐标（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程组

y=kx-1

x2

3

-y2=1

的解，
消去y，得（1-3k²）x²+6kx-6=0．①
依题意，1-3k²≠0，由根与系数关系，
知x₁+x₂=

6k

3k2-1

，x₁x₂=

6

3k2-1

OM

?

ON

=（x₁，y₁）?（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁-1）（kx₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
=

6(1+k2)

3k2-1

-

6k2

3k2-1

+1=

6

3k2-1

+1．
又∵

OM

?

ON

=-23，
∴

6

3k2-1

+1=-23，k=±

1

2

，
当k=±

1

2

时，方程①有两个不相等的实数根，
∴方程为y=

1

2

x-1或y=-

1

2

x-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率e=233，直线l..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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