设f(x)=λ1(a3x3+b-12x2+x)+λ2x?3x(a，b∈R，a＞0)（1）当λ1=1，λ2=0时，设x1，x2是f（x）的两个极值点，①如果x1＜1＜x2＜2，求证：f‘（-1）＞3；②如果a≥2，且x2-x1=2且x∈（x1，x2）时，函数-数学试题及答案

1、试题题目：设f(x)=λ1(a3x3+b-12x2+x)+λ2x?3x(a，b∈R，a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

设f(x)=λ1(

a

3

x3+

b-1

2

x2+x)+λ2x?3x(a，b∈R，a＞0)
（1）当λ₁=1，λ₂=0时，设x₁，x₂是f（x）的两个极值点，
①如果x₁＜1＜x₂＜2，求证：f'（-1）＞3；
②如果a≥2，且x₂-x₁=2且x∈（x₁，x₂）时，函数g（x）=f'（x）+2（x-x₂）的最小值为h（a），求h（a）的最大值．
（2）当λ₁=0，λ₂=1时，
①求函数y=f（x）-3（ln3+1）x的最小值．
②对于任意的实数a，b，c，当a+b+c=3时，求证3^aa+3^bb+3^cc≥9．

试题来源：杭州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）①证明：当λ₁=1，λ₂=0时，f'（x）=ax²+（b-1）x+1，x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个根，
由x₁＜1＜x₂＜2且a＞0得

f′(1)＜0

f′(2)＞0

，
即

a+b＜0

4a+2b-1＞0

．
所以f′（-1）=a-b+2=-3（a+b）+（4a+2b-1）+3＞3．（3分）
②设f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
所以g(x)=a(x-x2)(x-x1+

2

a

)=-a(x2-x)(x-x1+

2

a

)，
易知x₂-x＞0，x-x1+

2

a

＞0，
所以g(x)≥-a?(

(x2-x)+(x-x1+

2

a

)

2

)2=-(a+

1

a

+2)
当且仅当x1-x=x-x1+

2

a

时，
即x=

x1+x2

2

-

1

a

=x1+1-

1

a

时取等号
所以h(a)=-(a+

1

a

+2)（a≥2）．
易知当a=2时，h（a）有最大值，
即h(a)max=h(2)=-

9

2

．（5分）

（Ⅱ）①当λ₁=0，λ₂=1时，f（x）=3^xx，
所以y=3^xx-3（ln3+1）x．y'=3^x（ln3）?x+3^x-3（ln3+1），容易知道y'是单调增函数，
且x=1是它的一个零点，即也是唯一的零点．
当x＞1时，y'＞0；当x＜1时，y'＜0，
故当x=1时，
函数y=f（x）-3（ln3+1）x有最小值为-3ln3．（4分）
②由①知3^xx≥3（ln3+1）x-3ln3，
当x分别取a、b、c时有：3^aa≥3（ln3+1）a-3ln3；3^bb≥3（ln3+1）b-3ln3；3^cc≥3（ln3+1）c-3ln3
三式相加即得．（3分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f(x)=λ1(a3x3+b-12x2+x)+λ2x?3x(a，b∈R，a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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