函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．（1）求此平行线的距离；（2）若存在x使不等式x-mf(x)＞x成立，求实数-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（1）求此平行线的距离；
（2）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导数可得f'（x）=ae^x，g′（x）=

1

x

，
又可知y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），
y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），
∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，
∴f'（0）=g'（a），即a=

1

a

，又∵a＞0，∴a=1．∴f（x）=e^x，g（x）=lnx，
∴函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0，x-y-1=0
∴由两平行切线间的距离距离公式可得距离为

|1-(-1)|

12+(-1)2

=

2

．
（2）由

x-m

f(x)

＞

x

得

x-m

ex

＞

x

，故m＜x-

x

ex在x∈[0，+∞）有解，
令h（x）=x-

x

ex，则m＜h_max（x）．当x=0时，m＜0；
当x＞0时，∵h′（x）=1-（

1

2

x

ex+

x

ex）=1-（

1

2

x

+

x

）ex，
∵x＞0，∴

1

2

x

+

x

≥2

1

2

x

?

x

=

2

，当且仅当

1

2

x

=

x

，即x=

1

2

时取等号，
又ex＞1，∴（

1

2

x

+

x

）ex＞

2

，故h′（x）=1-（

1

2

x

+

x

）ex＜0，
故h（x）=x-

x

ex在区间[0，+∞）上单调递减，故h（x）_max=h（0）=0，∴m＜0
综合可得实数m的取值范围为（-∞，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：