已知函数f（x）=aex和g（x）=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A，B，且以点A，B为切点的切线互相平行．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若函数F(x)=g(x)+1x，求函数F（x）的极值；（Ⅲ）对于函-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=aex和g（x）=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ae^x和g（x）=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A，B，且以点A，B为切点的切线互相平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数F(x)=g(x)+

1

x

，求函数F（x）的极值；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x₀，我们把|f（x₀）-g（x₀）|的值称为两函数在x₀处的偏差，求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′(x)=aex，g′(x)=

1

x

，
函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），
函数y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），
由题意得f′(0)=g′(a)，即a=

1

a

，
又∵a＞0，∴a=1 （4分）
（Ⅱ）∵F(x)=g(x)+

1

x

，∴F′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴函数F（x）的递减区间是（0，1），递增区间是（1，+∞），
所以函数F（x）极小值是F（1）=1，函数F（x）无极大值（8分）
（Ⅲ）函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为F（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx，x∈（0，+∞），∴F′(x)=ex-

1

x

设x=t为F′(x)=ex-

1

x

=0的解，即

1

t

=et
则当x∈（0，t）时，F'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，F'（x）＞0，
∴F（x）在（0，t）内单调递减，在（t，+∞）上单调递增，∴F(x)min=F(t)=et-lnt=et-ln

1

et

=

1

t

+t（10分）
∵F′(1)=e-1＞0，F′(

1

2

)=

e

-2＜0，∴

1

2

＜t＜1，
故F(x)min=

1

t

+t＞2，
即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=aex和g（x）=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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