已知不等式12+13+…+1n＞12[log2n]，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数．设数列{an}的各项为正，且满足a1=b（b＞0），an≤nan-1n+an-1，n=2，3，4，…．证明：an＜-数学试题及答案

1、试题题目：已知不等式12+13+…+1n＞12[log2n]，其中n为大于2的整数，[..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知不等式

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

[log2n]，其中n为大于2的整数，[log₂n]表示不超过log₂n的最大整数．设数列{a_n}的各项为正，且满足a₁=b（b＞0），a_n≤

nan-1

n+an-1

，n=2，3，4，…．证明：a_n＜

2b

2+b[log2n]

，n=3，4，5，…．

试题来源：湖北试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：设f（n）=

1

2

+

1

3

+

1

n

，首先利用数学归纳法证不等式a_n＜

b

1+f(n)b

，n=3，4，5．
（ⅰ）当n=3时，由a₃≤

3a2

3+a2

=

3

a2

+1

≤

3

3?

2+a1

2a1

+1

=

b

1+f(3)b

，知不等式成立．
（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即a_k＜

b

1+f(n)b

，则a_k+1≤

(k+1)ak

(k+1)+ak

=

k+1

ak

+1

＜

k+1

(k+1)?

1+f(k)b

b

+1

=

(k+1)b

(k+1)+(k+1)f(k)b+b

=

b

1+(f(k)+

1

k+1

)b

=

b

1+f(k+1)b

即当n=k+1时，不等式也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）知，a_n＜

b

1+f(n)b

，n=3，4，5．．
又由已知不等式得a_n＜

b

1+

1

2

[log2n]b

=

2b

2+b[log2n]

，n=3，4，5，…

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知不等式12+13+…+1n＞12[log2n]，其中n为大于2的整数，[..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：