已知在函数f（x）=mx3-x的图象上以点N（1，n）为切点的切线的倾斜角为π4．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1992对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出-数学试题及答案

1、试题题目：已知在函数f（x）=mx3-x的图象上以点N（1，n）为切点的切线的倾斜角为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知在函数f（x）=mx³-x的图象上以点N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1992对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=3mx²-1，f′（1）=1，∴3m-1=1，∴m=

2

3

．
∴f（x）=

2

3

x3-x，f(1)=

2

3

-1=-

1

3

．
又点N（1，n）在曲线上，∴n=-

1

3

．…（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=2x²-1，x∈[-1，3]知，
当x∈(-1， -

2

)∪(

2

，3)时f′（x）＞0；
当x∈(-

2

，

2

)时f′（x）＜0，
∴f(x)在[-1，-

2

]和[

2

，3]上递增，在[-

2

，

2

]上递减．…（8分）
∵f(-

2

)=

2

3

，f(3)=15，∴f（x）在[-1，3]上最大值为15．∴k-1992≥15，k≥2007．
故存在最小自然数2007．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知在函数f（x）=mx3-x的图象上以点N（1，n）为切点的切线的倾斜角为..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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