已知a＞0，函数f（x）=1-axx，x∈（0，+∞）．设0＜x1＜2a，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l（1）求l的方程；（2）设l与x轴交点为（x2，0），求证：①0＜x2≤1a；②若0＜x1＜1a，则x1＜x2＜2-数学试题及答案

1、试题题目：已知a＞0，函数f（x）=1-axx，x∈（0，+∞）．设0＜x1＜2a，记..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知a＞0，函数f（x）=

1-ax

x

，x∈（0，+∞）．设0＜x₁＜

2

a

，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x₂，0），求证：①0＜x₂≤

1

a

； ②若0＜x₁＜

1

a

，则x₁＜x₂＜2x₁．

试题来源：舟山模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题知，得：f′（x）=-

1

x2

，根据点斜式可得l的方程为y-

1-ax1

x1

=-

1

x

21

(x-x1)，
整理得直线l的方程是

1

x

21

x+y-

2-ax1

x1

=0．
（2）证明：由（1）得 x₂=x₁（2-ax₁）
①由于 0＜x₁＜

2

a

，所以ax₁＜2，x₂=x₁（2-ax₁）＞0
又x₂-

1

a

=x₁（2-ax₁）-

1

a

=

a2

x

21

-2ax1+1

a

=

(ax1-1)2

a

≤0，所以，0＜x₂≤

1

a

；
②因为 x₂-x₁=x₁（2-ax₁）-x₁=x₁-ax₁²=x₁（1-ax₁），且0＜x₁＜

1

a

，，所以1-ax₁＞0，即x₁＜x₂．
又x₂-2x₁=x₁（2-ax₁）-2x₁=-ax₁²＜0，所以 x₂＜2x₁，
故当0＜x₁＜

1

a

，则x₁＜x₂＜2x₁．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0，函数f（x）=1-axx，x∈（0，+∞）．设0＜x1＜2a，记..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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