已知函数f(x)=a+blnxx+1在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（I）求a，b的值；（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f(x)＜mx恒成立，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=a+blnxx+1在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（I）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

a+blnx

x+1

在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．
（I）求a，b的值；
（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f(x)＜

m

x

恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f(x)=

a+blnx

x+1

，∴f′(x)=

b

x

(x+1)-(a+blnx)

(x+1)2

∵点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，
∵直线x+y=2的斜率为-1，∴f′（1）=-1
∴有

a

2

=1

2b-a

4

=-1

，∴

a=2

b=-1

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=

2-lnx

x+1

(x＞0)
由f(x)＜

m

x

及x＞0，可得

2x-xlnx

x+1

＜m
令g(x)=

2x-xlnx

x+1

，∴g(x)=

(1-lnx)(x+1)-(2x-xlnx)

(x+1)2

=

1-x-lnx

(x+1)2

令h（x）=1-x-lnx，∴h′(x)=-1-

1

x

＜0(x＞0)，故h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
故当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0
从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）_max=g（1）=1
要使

2x-xlnx

x+1

＜m成立，只需m＞1
故m的取值范围是（1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=a+blnxx+1在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（I）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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