已知函数f（x）=x-alnx在x=1处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）若?x1∈[12，2]，?x2∈[12，2-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x-alnx在x=1处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若关于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x-alnx在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）若?x₁∈[

1

2

，2]，?x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立，求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由数f（x）=x-alnx，所以f′(x)=1-

a

x

，由题意得，f′（1）=0，所以a=1；
（2）由（1）得，f（x）=x-lnx．
f（x）+2x=x²+b?x-lnx=x²+b?x²-3x+lnx+b=0．
设g（x）=x²-3x+lnx+b，则g′(x)=2x-3+

1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

．
当x∈(0，

1

2

)时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈(

1

2

，1)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
所以g(x)min=g(1)=b-2，g(

1

2

)=b-

5

4

-ln2，g（2）=b-2+ln2．
方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，则

g(

1

2

)≥0

g(1)＜0

g(2)≥0

，解得

5

4

+ln2≤b＜2；
（3）?x₁∈[

1

2

，2]，?x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立，等价于
x∈[

1

2

，2]时，f(x)min≥(x2+b)min．
由f′(x)=

x-1

x

，

1

2

≤x＜1时f′（x）0．
所以f（x）在[

1

2

，1)上位减函数，在（1，2]上为增函数．
所以f（x）_min=f（1）=1．
而y=x²+b在x∈[

1

2

，2]上的最小值为

1

4

+b．
∴

1

4

+b≤1，∴b≤

3

4

．
∴b的取值范围为(-∞，

3

4

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x-alnx在x=1处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若关于..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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