已知函数f（x）=ax2-2x+lnx．（Ⅰ）若f（x）无极值点，但其导函数f‘（x）有零点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明f（x）的极小值小于-32．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2-2x+lnx．（Ⅰ）若f（x）无极值点，但其导函数f‘（x）有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx．
（Ⅰ）若f（x）无极值点，但其导函数f'（x）有零点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明f（x）的极小值小于-

3

2

．

试题来源：东莞二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（Ⅰ）首先，x＞0f/(x)=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得a=

1

2

（Ⅱ）由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，a＞0．
解得：0＜a＜

1

2

设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
因为在区间（0，x₁），（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，
而在区间（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，故x₂是f（x）的极小值点．
因f（x）在区间（x₁，x₂）上f（x）是减函数，如能证明f(

x1+x2

2

)＜-

3

2

，则更有f(x2)＜-

3

2

由韦达定理，

x1+x2

2

=

1

2a

，f(

1

2a

)=a(

1

2a

)2-2(

1

2a

)+ln

1

2a

=ln

1

2a

-

3

2

?

1

2a

令

1

2a

=t，其中设g(t)=lnt-

3

2

t+

3

2

，
利用导数容易证明g（t）当t＞1时单调递减，而g（1）=0，
∴g（t）=lnt-

3

2

t+

3

2

＜0，
因此f（

1

2a

）＜-

3

2

，
从而有f（x）的极小值f（x₂）＜-

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2-2x+lnx．（Ⅰ）若f（x）无极值点，但其导函数f‘（x）有..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：